Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий

Пусть $M$ – полное связное риманово многообразие размерности $d$ и $L$ – эллиптический дифференциальный оператор второго порядка на $M$, который имеет следующее представление в локальных координатах: $L=a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}+b^i\partial_{x_i}$, где $a^{ij}\in H^{p,1}_{\text{loc}}$, $b^i\in L^p_{\mathrm{loc}}$ для некоторого $p>d$, а матрица $(a^{ij})$ невырождена. Цель работы состоит в изучении проблемы единственности решения для эллиптического уравнения $L^*\mu=0$ для вероятностных мер $\mu$, которое понимается в слабом смысле: $\displaystyle\int L\varphi f\,d\mu=0$ для всех $\varphi\in C_0^\infty(M)$. Кроме того, исследуется единственность инвариантных вероятностных мер для соответствующих полугрупп $(T_t^\mu)_{t\geqslant 0}$, порождаемых оператором $L$. Доказано, что если вероятностная мера $\mu$ на $M$ удовлетворяет уравнению $L^*\mu=0$ и $(L-I)\big(C^\infty_0(M)\big)$ плотно в $L^1(M,\mu)$, то $\mu$ – единственное решение этого уравнения в классе вероятностных мер. В работе построены примеры (даже с $a^{ij}=\delta^{ij}$ и гладкими $b^i$), когда уравнение $L^*\mu=0$ имеет более одного решения в классе вероятностных мер. Наконец, показано, что если $p>d+2$, то полугруппа $(T_t)_{t\geqslant 0}$, порожденная $L$, имеет не более одной инвариантной вероятностной меры.
Библиография: 46 названий.