Эта публикация цитируется в
2 статьях
О производных унимодулярных многочленов
Пол Неваиa,
Тамаш Эрдейиb a Upper Arlington (Columbus), Ohio, USA
b Department of Mathematics, Texas A&M University, College Station, TX, USA
Аннотация:
Пусть
$D$ – открытый единичный круг в комплексной плоскости,
$\partial{D}$ – его граница. В работе рассматривается класс
${\mathscr P}_n^c$ всех алгебраических многочленов степени не выше
$n$ с комплексными
коэффициентами. Для
$\lambda \geqslant 0$ положим
$$
{\mathscr K}_n^\lambda \stackrel{\mathrm{def}}{=}
\biggl\{P_n: P_n(z) = \sum_{k=0}^n{a_k k^\lambda z^k}, \,
a_k \in {\mathbb C},\,|a_k| = 1 \biggr\} \subset {\mathscr P}_n^c.
$$
Класс
${\mathscr K}_n^0$ называют классом всех (комплексных) унимодулярных многочленов степени
$n$.
Пусть
$(\varepsilon_n)$ – последовательность положительных чисел, стремящаяся к
$0$.
Последовательность
$(P_n)$ многочленов
$P_n \in {\mathscr K}_n^\lambda$ является
$\{\lambda, (\varepsilon_n)\}$-ультраплоской, если
$$
(1 - \varepsilon_n)\frac{n^{\lambda+ 1/2}}{\sqrt{2\lambda +1}} \leqslant |P_n(z)|
\leqslant (1 + \varepsilon_n)\frac{n^{\lambda +1/2}}{\sqrt{2\lambda +1}},
\qquad z \in \partial{D},
\quad n \in {\mathbb N}_0.
$$
Несмотря на то, что в общем случае неизвестен ответ на вопрос о существовании
$\{\lambda, (\varepsilon_n)\}$-ультраплоской последовательности многочленов
$P_n \in {\mathscr K}_n^\lambda$
для каждого
$\lambda > 0$, мы устанавливаем ряд новых интересных свойств таких последовательностей.
Используя эти свойства, мы показываем, что не существует таких последовательностей
$(P_n)$
сопряженно-возвратных, возвратных или косовозвратных унимодулярных многочленов
$P_n \in {\mathscr K}_n^0$, для которых последовательность многочленов
$(Q_n)$, где
$Q_n(z) \stackrel{\mathrm{def}}{=} zP_n'(z)+1$, является
$\{1, (\varepsilon_n)\}$-ультраплоской.
Библиография: 18 названий.
Ключевые слова:
унимодулярный многочлен, ультраплоский многочлен, угловая производная.
УДК:
517.518.862
MSC: 41A17 Поступила в редакцию: 08.01.2015 и 09.09.2015
DOI:
10.4213/sm8469