О производных унимодулярных многочленов

Пусть $D$ – открытый единичный круг в комплексной плоскости, $\partial{D}$ – его граница. В работе рассматривается класс ${\mathscr P}_n^c$ всех алгебраических многочленов степени не выше $n$ с комплексными коэффициентами. Для $\lambda \geqslant 0$ положим
$$ {\mathscr K}_n^\lambda \stackrel{\mathrm{def}}{=} \biggl\{P_n: P_n(z) = \sum_{k=0}^n{a_k k^\lambda z^k}, \, a_k \in {\mathbb C},\,|a_k| = 1 \biggr\} \subset {\mathscr P}_n^c. $$
Класс ${\mathscr K}_n^0$ называют классом всех (комплексных) унимодулярных многочленов степени $n$. Пусть $(\varepsilon_n)$ – последовательность положительных чисел, стремящаяся к $0$. Последовательность $(P_n)$ многочленов $P_n \in {\mathscr K}_n^\lambda$ является $\{\lambda, (\varepsilon_n)\}$-ультраплоской, если
$$ (1 - \varepsilon_n)\frac{n^{\lambda+ 1/2}}{\sqrt{2\lambda +1}} \leqslant |P_n(z)| \leqslant (1 + \varepsilon_n)\frac{n^{\lambda +1/2}}{\sqrt{2\lambda +1}}, \qquad z \in \partial{D}, \quad n \in {\mathbb N}_0. $$
Несмотря на то, что в общем случае неизвестен ответ на вопрос о существовании $\{\lambda, (\varepsilon_n)\}$-ультраплоской последовательности многочленов $P_n \in {\mathscr K}_n^\lambda$ для каждого $\lambda > 0$, мы устанавливаем ряд новых интересных свойств таких последовательностей. Используя эти свойства, мы показываем, что не существует таких последовательностей $(P_n)$ сопряженно-возвратных, возвратных или косовозвратных унимодулярных многочленов $P_n \in {\mathscr K}_n^0$, для которых последовательность многочленов $(Q_n)$, где $Q_n(z) \stackrel{\mathrm{def}}{=} zP_n'(z)+1$, является $\{1, (\varepsilon_n)\}$-ультраплоской.
Библиография: 18 названий.