О локальном устройстве выпуклых поверхностей

Рассмотрим точку на поверхности выпуклого тела и опорную плоскость к телу в этой точке. Проведем плоскость, параллельную данной опорной плоскости и отсекающую некоторую часть поверхности. Мы изучаем предельное поведение отсеченной части поверхности, когда секущая плоскость приближается к заданной точке. Более точно, изучается предельное поведение подходящим образом нормированной поверхностной меры в $S^2$, порожденной этой частью поверхности. Рассматриваются случаи, когда точка является регулярной и когда она особая: коническая или ребристая. Опорная плоскость может быть по-разному расположена по отношению к касательному конусу в данной точке: может пересекаться с конусом по вершине, прямой (если точка является особой ребристой), плоскому углу (который может вырождаться в луч или полуплоскость) или по плоскости (если точка регулярная и соответственно конус вырождается в полупространство). В случае пересечения по лучу плоскость может касаться конуса (односторонним или двусторонним образом) или же нет.
Оказывается, предельное поведение меры может быть разным. В случае пересечения опорной плоскостью конуса по вершине или в случае (одностороннего или двустороннего) касания слабый предел всегда существует и однозначно определяется по плоскости и по конусу. В случае же пересечения по прямой или лучу при отсутствии касания предел может вообще не существовать. В последнем случае дана характеризация всех возможных слабых частичных пределов.
Библиография: 13 названий.