О некоторых свойствах кривых Ван Коха

Изучаются свойства интегрального оператора $T$ с ядром Коши, действующего из $L^\infty(\Gamma,\mu)$, где $\Gamma$ – кривая Ван Коха, в пространство функций $\mathbb C\to\mathbb C$. Доказано, что образ $T$ нетривиален и содержится в пространстве $\operatorname{AC}(\Gamma)$ непрерывных на $\mathbb C$ функций, исчезающих на $\infty$ и аналитических вне $\Gamma$. Показано также, что $T$ инъективен, компактен и удовлетворяет некоторому функциональному уравнению. Полученные результаты представляют собой естественное продолжение наших исследований по задаче $\operatorname{AC}$-устранимости квазиконформных кривых, решение которой впервые анонсировано в [1] и дополнено позже некоторыми свойствами кривых Ван Коха [2], [3]. В данной статье эта задача обсуждается в более общей постановке, в частности, присутствуют важные детали, отсутствующие в [1]. Сформулированы нерешенные задачи.