О периодичности совершенных раскрасок бесконечной гексагональной и треугольной решеток

Раскраска вершин графа $G$ называется $r$-совершенной, если цветовой состав всякого шара радиуса $r$ в графе $G$ зависит только от цвета его центра. Параметры совершенной раскраски задаются матрицей $A=(a_{ij})^n_{i,j=1}$, где $n$ – число цветов, $a_{ij}$ – число вершин цвета $j$ в шаре с центром в вершине цвета $i$. Исследуется периодичность совершенных раскрасок графов бесконечной гексагональной и треугольной решеток. Доказано, что для любой 1-совершенной раскраски бесконечной треугольной и любой 1- и 2-совершенной раскраски бесконечной гексагональной решеток существует периодическая совершенная раскраска с той же матрицей параметров. Периодичность совершенных раскрасок для больших $r$ исследована ранее.