Вершинно-граневый вес ребер в $3$-многогранниках

Весом $w(e)$ ребра $e$ в $3$-многограннике называется сумма степеней двух вершин и двух граней, инцидентных $e$. В 1940 г. Лебег доказал, что каждый $3$-многогранник без так называемых пирамидальных ребер содержит ребро $e$ с $w(e)\le21$. В 1995 г. эта верхняя оценка была улучшена С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным до $20$. Отметим, что в $n$-пирамиде каждое ребро пирамидально и имеет вес $n+9$. Недавно мы построили $3$-многогранник без пирамидальных ребер, удовлетворяющий неравенству $w(e)\ge18$ для каждого $e$.
Цель статьи – доказать, что каждый $3$-многогранник без пирамидальных ребер содержит ребро $e$ с $w(e)\le18$.
В других терминах это означает, что каждая плоская четыреангуляция без граней, инцидентных трем вершинам степени $3$, содержит грань с суммой степеней вершин не более $18$, причем оценка точна.