Высота малых граней в $3$-многогранниках без треугольников

Высота $h(f)$ грани $f$ в $3$-многограннике есть максимальная степень инцидентных грани $f$ вершин. $4$-грань называется пирамидальной, если она инцидентна не менее чем трем $3$-вершинам. Заметим, что в полуправильном $(3,3,3,n)$-многограннике каждая грань $f$ является пирамидальной и имеет $h(f)=n$.
В 1940 г. Лебег доказал, что в каждом четыреангулированном $3$-многограннике без пирамидальных граней найдется грань $f$ с $h(f)\le11$. В 1995 г. эта оценка была улучшена до 10 С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным. Недавно мы улучшили эту оценку до 8 и построили четыреангулированный $3$-многогранник без пирамидальных граней, в котором $h(f)\ge8$ для каждой грани $f$.
Целью настоящей статьи является доказательство того, что в каждом $3$-многограннике без треугольников и пирамидальных $4$-граней найдется $4$-грань с $h(f)\le10$ или $5$-грань с $h(f)\le5$, причем оценки 10 и 5 неулучшаемы.