О построении формул Карлемана с помощью смешанных задач с граничными условиями, содержащими параметр

Пусть $D$ – открытое связное множество с достаточно гладкой границей $\partial D$ на комплексной плоскости $\mathbb C$. Возмущением задачи Коши для системы Коши–Римана $\bar\partial u=f$ в $D$ с граничными данными на замкнутом множестве $S\subset\partial D$ получено семейство смешанных задач типа Зарембы для уравнения Лапласа, зависящее от малого параметра $\varepsilon\in(0,1]$ в граничном условии. Несмотря на то, что смешанные задачи содержат некоэрцитивные граничные условия на $\partial D\setminus S$, каждая из них имеет единственное решение в подходящем гильбертовом пространстве $H^+(D)$, непрерывно вложенном в пространство Лебега $L^2(\partial D)$ и пространство Соболева–Слободецкого $H^{1/2-\delta}(D)$ при любом $\delta>0$. Соответствующее семейство решений $\{u_\varepsilon\}$ сходится в $H^+(D)$ к решению задачи Коши (если оно существует). Также доказано, что существование решения задачи Коши в $H^+(D)$ эквивалентно ограниченности семейства $\{u_\varepsilon\}$ в этом пространстве. Таким образом, получены условия разрешимости для задачи Коши и эффективный метод построения ее решения в виде формул карлемановского типа.