Легкие младшие $5$-звезды в $3$-многогранниках с минимальной степенью $5$

В 1940 г. в попытках решить проблему четырех красок Анри Лебег дал приближенное описание окрестностей $5$-вершин в классе $\mathbf{P}_5$ $3$-многогранников с минимальной степенью $5$. Это описание зависит от $32$ главных параметров. Пока получено мало точных верхних оценок этих параметров даже для ограниченных подклассов в $\mathbf{P}_5$.
Для данного $3$-многогранника $P$ через $w(P)$ обозначим минимум максимальной суммы степеней (вес) окрестностей $5$-вершин (младших $5$-звезд) в $P$.
В 1996 г. Йендроль и Мадараш показали, что если многогранник $P$ в $\mathbf{P}_5$ допускает $5$-вершины, смежные с четырьмя $5$-вершинами (называемыми младшими $(5,5,5,5,\infty)$-звездами), то $w(P)$ может быть неограниченно большим.
Для любого $P^*$ в $\mathbf{P}_5$ без вершин степеней от $6$ до $7$ и без младших $(5,5,5,5,\infty)$-звезд из теоремы Лебега следует, что $w(P^*)\le 51$. Доказано, что каждый такой многогранник $P^*$ удовлетворяет неравенству $w(P^*)\le 42$, где оценка $42$ точна. Этот результат неулучшаем еще и в том смысле, что если $6$-вершины допустимы, а $7$-вершины запрещены или наоборот, то вес всех младших $5$-звезд в $\mathbf{P}_5$ при отсутствии младших $(5,5,5,5,\infty)$-звезд может достигать $43$ или $44$ соответственно.