О весовых неравенствах типа Харди для дробных интегралов Римана — Лиувилля

Изучаются весовые оценки вида
\begin{equation} \biggl(\int_0^\infty |P_rf(x)u(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p} \leq C \biggl(\int_0^\infty|f(x)v(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p} \label{1} \end{equation}
для дробных интегралов Римана–Лиувилля
$$ P_rf(x)=\frac1{\Gamma(r)}\int_0^x(x-t)^{r-1}f(t)\,dt,\quad r>0. $$
Показано, что при $p=2$, $r\geq1$ оценка (1) выполнена тогда и только тогда, когда
$$ \max_{\gamma=0,1}\sup_{t>0}\biggl(\int_t^\infty (x-t)^{2(r-1)(1-\gamma)}|u(x)|^2\,dx\biggr)^{1/2} \biggl(\int_0^t(t-x)^{2(r-1)\gamma}|v(x)|^{-2}\,dx\biggr)^{1/2}<\infty. $$

Библиогр. 10.