Обращение одного интегрального оператора методом разложения по ортогональным операторам Ватсона

Рассматривается интегральное уравнение
\begin{equation} \frac1{\sqrt\pi}\int_{1/x}^\infty (xs)^{-1}(\ln{xs})^{-1/2}f(s)\,ds+\frac1xf\biggl( \frac1x\biggr)=g(x), \label{1} \end{equation}
где $g(x)$ – произвольная вещественная функция из $L_2(0,\infty)$.
Левая часть уравнения (1) рассматривается как результат действия оператора $V+S$ на функцию $f(x)$; каждый из слагаемых операторов $V$ и $S$ может быть определен формулой
\begin{equation} \frac{d}{dx}\biggl\{x\int_0^\infty k(xs)f(s)\,ds\biggr\}, \label{2} \end{equation}
где ядро $k(x)$ оператор $S$ равно $x^{-1}$ при $x\geq1$ и нулю при $x<1$; ядро оператора $V$ равно $2\pi^{-1/2}x^{-1}(\ln{x})^{1/2}$ при $x\geq1$ и нулю при $x<1$. Оператор $V+S$ заменяется своим разложением по ортогональной системе ватсоновых операторов $S(TS)^n$, $n=0,1,2,\dots$; здесь оператор $T$ имеет вид (2) и ядро, равное 1 при $0\leq x\leq1$ и нулю вне этого отрезка. Разложение оператора $V+S$ имеет вид
\begin{equation} V+S=\sum_{n=0}^\infty a_nS(TS)^n. \label{3} \end{equation}

Основной факт, лежащий в основании обращения оператора $V+S$, таков: коэффициенты $a_n$ в (3) совпадают с коэффициентами разложения функции $1+\sqrt{1+s}$ по степеням $s$. С помощью этого результата доказывается основная формула
\begin{equation} (V+S)^{-1}=ST(SV-E)S, \label{4} \end{equation}
позволяющая написать решение исходного уравнения (1) в явной форме:
$$ f(x)=\frac{d}{dx}\int_0^{1/x}\biggl[ \int_{-\ln xs}^\infty \operatorname{erfc}(\sqrt{t})\,dt- \operatorname{erfc}(\sqrt{-\ln{xs}})\biggr]\frac{g(s)}s\,ds +\frac12\cdot\frac1xg\biggl(\frac1x\biggr), $$
где $\displaystyle\operatorname{erfc}(u)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_u^\infty\exp(-s^2)\,ds$.
Библ. 2.