Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве

Кореваар и Шоэн определили некоторый аналог соболевского пространства $W^1_p(\Omega)$ для функций, заданных в области $\Omega$ риманова пространства и принимающих значения в произвольном полном метрическом пространстве. В настоящей статье предлагается другой подход к определению таких пространств. Рассматривается случай, когда $\Omega$ есть область в $\mathbb{R}^n$ и отображения действуют из $\Omega$ в метрическое пространство $X$. Предполагается, что $X$ полно и сепарабельно. В некоторых случаях дополнительно требуется, чтобы пространство удовлетворяло тому условию, что всякий замкнутый шар в нем компактен.
Пусть $\Omega$ – область в $\mathbb{R}^n$, $X$ – полное метрическое пространство, $d$ – метрика пространства $X$. Класс $W_p^1(\Omega,X)$ определяется здесь как совокупность всех отображений $f$ области $\Omega$ в $X$, удовлетворяющих следующему условию. Для всякой точки $z\in X$ вещественная функция $f_x$, определенная равенством $f_z(t)=d[f(t),z]$, принадлежит классу $W_p^1(\Omega)$, причем существует вещественная функция $w$ класса $L_p(\Omega)$, не зависящая от выбора точки $z\in X$ и такая, что $|\bigtriangledown f_z(x)|\leqslant w(x)$ для почти всех $x\in\Omega$.
Для отображений класса $W_p^1(\Omega,X)$ определяется понятие $L_p^1$-нормы. Устанавливается некоторая общая теорема о полунепрерывности $L_p^1$-нормы и доказывается полнота $W^1_p(\Omega,X)$ при надлежащем определении метрики в нем. Устанавливаются теоремы, аналогичные известным теоремам вложения Соболева. Локазывается, что если функция $f\colon\Omega\to X$ принадлежит классу $W^1_p(\Omega,X)$, то для всякой функции $\varphi\colon X\to\mathbb{R}$ такой, что $|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|\leqslant Kd(x_1,x)2)$ для любых $x_1,x_2\in X$, где $K<\infty$ – постоянная, суперпозиция $\varphi\circ f$ принадлежит классу $W^1_p(\Omega,\mathbb{R})$, причем $|\bigtriangledown\varphi\circ f(t)|\leqslant Kw(t)$ для почти всех $t\in\Omega$. Здесь $w$ – функция, указанная в данном выше определении.
Аналогичный подход ранее был применен Амбросио для определения класса $BV(\Omega)$ функций ограниченной вариации со значениями в локально компактном метрическом пространстве $X$.
Библиогр. 16.