Конечные $ABA$-группы

Доказываются признаки разрешимости и непростоты конечных групп, представимых в виде $G=ABA$, где $A$ и $B$ – подгруппы группы $G$. Основными результатами являются:
Теорема 1. Пусть $G=ABA$, где $A$ и $B$ абелевы холловские подгруппы группы $G$, причем по крайней мере одна из них $A$ или $B$ имеет четный порядок. Если всякая $ABA$-подгруппа из $G$ является также $ABA$-подгруппой и наоборот, то группа $G$ разрешима.
Подгруппа $H$ группы $G=ABA$ здесь называется $ABA(BAB)$-подгруппой, если она представима в виде $H=A^*B^*A^*(B^*A^*B^*)$, где $A^*\subseteq A$ и $B^*\subseteq B$.
Теорема 2. Пусть $G=ABA$, где $A$ и $B$ – абелевы холловские подгруппы группы $G$ нечетного порядка. Если группа $G$ имеет четный порядок, то в $G$ имеется собственная инвариантная подгруппа $D$ такая, что $G=AD$. В частности, группа $G$ непроста.
Теорема 3. Пусть $G=ABA$, где подгруппа $A$ абелева, а $B$ нильпотентна, $(|A|,|B|)=1$. Если нормализатор подгруппы $A$ в $G$ $\pi(A)$-разложим, то группа $G$ разрешима.
Теорема 3 обобщает соответствующий результат Гутермана (М. М. Guterman, Trans. Amer. Math. Soc., 139, 104 (1969), 109–145).