Об одной теореме С. Н. Бернштейна

Дано простое доказательство следующей теоремы С. Н. Бернштейна (Уч. зап. НИ каф. Украины, вып. 1, 1924, 83–115). Пусть $V$ – квадратичное отображение единичного симплекса $n$-мерного пространства в себя. Если $V^2=V$ и все коэффициенты отображения строго положительны, то $V$ отображает весь симплекс в одну точку.