Аналитический метод в теории двумерных положительных случайных блужданий

Рассматривается случайное блуждание по дискретной решетке в четверти плоскости, удовлетворяющее некоторым требованиям однородности и ограниченности скачков. Функциональное уравнение для производящих функций стационарных вероятностей трактуется как краевая задача для функций двух комплексных переменных и предлагается метод для его решения. Исследована возможность аналитического продолжения производящих функций стационарных вероятностей, выяснена природа особых точек, которые оказываются либо полюсами, либо точками ветвления. Найдено явное представление для производящих функций граничных стационарных вероятностей в виде рядов и произведений, обобщающих соответствующие представления для эллиптических $\zeta$- и $\sigma$-функций. Полная производящая функция выражается рационально через граничные производящие функции. С помощью теории вычетов Лере найдено интегральное представление для стационарных вероятностей в виде интеграла по одномерному циклу на основной римановой поверхности.