Одно свойство полиномиальных операторов с приложениями к рядам по ортогональным многочленам и проекционным методам

Пусть $H_{\alpha,\beta}$ – гильбертово пространство функций, заданных на $[-1,1]$ и суммируемых с квадратом с весом $(1-x)^\alpha)(1+x)^\beta$. Пусть $P_n$ проекционные операторы, заданные на $H_{\alpha,\beta}$ и такие, что $P_n$ проектирует $H_{\alpha,\beta}$ на подпространство полиномов степени не выше $n$, и нормы $P_n$ ограничены в совокупности. Тогда если функция $u$ такова, что $u^{(s)}\in H_{\alpha+s,\beta+s}$, то $(P_n u)^{(s)}$ сходятся к $u^{(s)}$ в $H_{\alpha+s,\beta+s}$. Это утверждение применяется к исследованию возможности почленного дифференцирования рядов Фурье по ортогональным многочленам и сходимости старших производных при решении граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений некоторыми проекционными методами (наименьших квадратов, моментов, Б. Г. Галеркина).