К проблеме существования простого нилькольца

Доказывается, что если существуют простые ниль-алгебры над полем $\Phi$, где $\Phi$ – поле рациональных чисел или поле $Z_p$ вычетов целых чисел по простому модулю $p$, то существует и счетная простая ниль-алгебра. Хорошо известно, что всякое простое кольцо является алгеброй над полем $\Phi$ указанного вида. Более того, если существует простая ниль-алгебра над $\Phi$, то существует такое целое $n\ge2$ и такой идеал $I$ свободной алгебры $R$ над $\Phi$ с $2n+1$ свободных образующих $x_1,x_2,\dots,x_{2n+1}$, что
$$ x_1\notin I,\quad x_1-\sum_{i=1}^n x_{2i}x_1^2x_{2i+1}\in I $$
и фактор-алгебра $R/I$ является ниль-алгеброй. Обратно, если существует идеал $I$, удовлетворяющий указанным выше требованиям, то, взяв максимальный среди таких идеалов $I$ и переходя к фактор-алгебре $R/I$, мы получим подпрямо неразложимое кольцо, сердцевина которого будет счетным простым ниль-кольцом.
В связи со сказанным изучаются некоторые свойства фактор-алгебры $R/Q$, где $R$ – свободная алгебра над $\Phi$ с $2n+1$ образующими $x_i$, a $Q$ – главный идеал в $R$ порожденный элементом $x_1-\sum\limits_{i=1}^n x_{2i}x_1^2x_{2i+1}$. В частности, строится базис этой алгебры.