Эта публикация цитируется в
8 статьях
О новой конструкции дедекиндова пополнения векторных структур и $l$-групп с делением
А. И. Векслер
Аннотация:
Используется терминология книги Б. З. Вулиха (РЖМат, 1962, 8Б 393).
Строятся две близких конструкции
$K$-пополнения (дедекиндова условного пополнения)
$kX$ для архимедова
$K$-линеала
$X$, отличные от обычной конструкций, получаемой методом сечений и впервые для этого случая рассмотренной
А. И. Юдиным.
$K$-линеал называется
$K$-линеалом с проекциями, если всякий
его элемент можно спроектировать в любую компоненту, или, иначе говоря,
всякая его компонента является прямым слагаемым. В предыдущей работе
автора (Линейные пространства с дизъюнктными элементами и превращение
их в векторные структуры, Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена (328 (1967), 19–43) было доказано, что для всякого
$K$-линеала
$Y$ существует наименьший в некотором естественном смысле
$K$-линеал
$pY\supset Y$ с проекциями, называемый
$P$-пополнением
$Y$. В теореме 2 показывается, что для архимедова
$X$ построение
$pX$ весьма несложно. Эверетт установил, что для каждого
$Y$ существует его
$o$-пополнение
$oY$ – наименьший в естественном смысле
$K$-линеал, в котором всякая
$(o)$-фундаментальная последовательность элементов
$\{x_n\}$ (т.е. такая, что
$|x_{n+p}-x_n|\leq z_n\downarrow0$)
$(o)$-сходится к некоторому элементу. Построение
$oY$ по
$Y$ укладывается, как показал Панантелоу (РЖМат,
1965, ЗА225), в обычную схему Кантора. Для архимедова
$X$ можно построить
его
$R$-пополнение – наименьший в некотором естественном смысле
$K$-линеал
$rX\supset X$, полный относительно
$(r)$-сходимости (
$x_n\overset{(r)}\to x$ означает существование элемента
$z\geq0$ и последовательности вещественных чисел
$\varepsilon_n\downarrow0$ таких, что
$|x-x_n|\leq\varepsilon_nz$). Для архимедова
$X$ можно считать, что
$pX$,
$oX$ и
$rX$ содержатся между
$X$ и
$kX$.
В теоремах 4 и 5 показывается, что
$kX=rpX=oPX$, т.е.
$K$-пополнение
$X$ получается как
$R$-пополнение (или
$o$-пополнение) его
$P$-пополнения. Отмечается, что здесь (но не в произвольном случае!)
$R$-пополнение также можно
получить с помощью схемы Кантора. Результаты остаются в силе для архимедовых
$l$-групп с делением, но для произвольных архимедовых
$l$-групп места не имеют.
УДК:
519.4
Статья поступила: 25.01.1968