О свободных объектах в категориях

Обобщаются результаты Т. М. Баранович $(^1)$ на случай категорий. Вводится понятие $\Pi$-категории $\mathscr{K}_0$ двух категорий $\mathscr{K}_1$, $\mathscr{K}_2$, которое совпадает с пересечением $\mathscr{K}_1$ и $\mathscr{K}_2$, определенным в $(^1)$, если $\mathscr{K}_1$ и $\mathscr{K}_2$ – многообразия универсальных алгебр. Доказано, что если любой подобъект свободного объекта свободен в $\mathscr{K}_1$, $\mathscr{K}_2$, то это верно и в $\Pi$-категории $\mathscr{K}_0$. Показано, что теорема 1 $(^1)$ применима и к пересечению многообразий универсальных алгебр, системы операций которых не пересекаются.
1. Баранович Т. М., Свободные разложения в пересечении примитивных классов алгебр, Матем. сб., 67 (1965), 135–153.