Эта публикация цитируется в
2 статьях
Отдел заметок
Направленные эндоморфизмы упорядоченных множеств
Е. С. Ляпин
Аннотация:
Пусть
$\Omega$ – упорядоченное (частично) множество;
$X$ – некоторое преобразование
$\Omega$.
$X$ называется эндоморфизмом, если из
$\alpha\le\beta$ (
$\alpha,\beta\in\Omega$) всегда следует
$X_\alpha\le X_\beta$.
$X$ называется направленным, если
$\alpha\le X\alpha$ для всех
$\alpha\in\Omega$.
Эндоморфизм, являющийся направленным преобразованием, называется направленным эндоморфизмом.
$\mathfrak{A}^{dl}_\Omega$ есть совокупность всех направленных эндоморфизмов.
$X$ называется преобразованием замыкания, если
$X\in\mathfrak{A}^{dl}_\Omega$ и
$X\xi=\xi$ для всякого
$\xi\in X\Omega$.
$\mathfrak{B}_\Omega$ есть совокупность всех преобразований замыкания.
Преобразования рассматриваются относительно ассоциативного действия умножения преобразований (суперпозиции):
$(XY)_\xi=X(Y\xi)$.
Полугруппа, порожденная
$\mathfrak{B}_\Omega$, обозначается через
$\mathfrak{A}_\Omega^C=[\mathfrak{B}_\Omega]$.
Пусть
$\Omega_i$ – упорядоченное множество, обладающее универсально максимальным элементом, т. е. таким элементом
$\varepsilon_i$, что
$\alpha_i\le\varepsilon_i$ для всякого
$\alpha_i\in\Omega_i$ (
$i=1,2$).
$\Omega_1$ и
$\Omega_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны полугруппы
$\mathfrak{A}^{dl}_{\Omega_1}$ и
$\mathfrak{A}^{dl}_{\Omega_2}$.
$\Omega_1$ и
$\Omega_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны полугруппы
$\mathfrak{A}^C_{\Omega_1}$ и
$\mathfrak{A}^C_{\Omega_2}$.
УДК:
519.513
Статья поступила: 23.04.1968