Некоторые вопросы теории роста функций, определенных рядами по системе $\{f(\lambda_nz)\}$

Пусть $F(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty d_ne^{\lambda_n s}$, $s=\sigma+it$, $0<\lambda_1<\lambda_2<\dots$, $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\lambda_n}=\tau<\infty$ – ряд Дирихле, сходящийся во всей плоскости. Положим $m(\sigma)=\sup\limits_{-\infty<t<\infty}|F(\sigma+it)|$ и $m_s(\sigma)=\max\limits_{|t-t_0|\leq a}|F(\sigma+it)|$; величины $\rho=\varlimsup\limits_{\sigma\to\infty}\sigma^{-4}\ln\ln m(\sigma)$, $\rho_s=\varlimsup\limits_{\sigma\to\infty}\sigma^{-1}\ln\ln m_s(\sigma)$ называются соответственно $(R)$-порядком функции $F(s)$ и $(R)$-порядком функции $F(s)$ в полосе $S:|t-t_0|\leq a$. А. Ф. Леонтьевым найдены (РЖМ., 1964, 12Б99) точные границы для $(R)$-порядка функции $F(s)$ в полосе $S$ в зависимости от порядка функции $F(s)$ и свойств последовательности $\{\lambda_n\}$. Из этого, в частности, вытекает теорема С. Мандельбройта: если $\varlimsup\limits_{n\to\infty}(\lambda_{n+1}-\lambda_n)>0$, то для функции $F(s)$ $\rho_s=\rho$. С. Мандельбройтом также доказано: если в полосе $S$ функция $F(s)$ по модулю ограничена, то $F(s)\equiv0$. (С. Мандельбройт, Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения, ИЛ, М., 1955).
В настоящей работе рассматривается подобный вопрос для функции $F(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{q_n}d_{nk}f(\lambda_kz)$, где $f(z)$ имеет вид (он указан А. Ф. Леонтьевым; см. РЖМ.Г1958, 1990)
$$ f(z)=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{P(1)\dots P(n)},\quad P(x)=\alpha_px^p+\dots +\alpha_1x,\quad P(k)>0\quad (k=1,2,\dots), $$
а $\{\lambda_n\}$ – последовательность положительных чисел, причем $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\lambda_n^{1/p}}<\infty$. При $P(x)\equiv x$ имеем $f(z)=e^z$ и функция $F(z)$ становится пределом последовательности полиномов Дирихле. Рост функции $F(z)$ при $p>1$ нельзя характеризовать величиной $m(x)=\sup\limits_{-\infty<y<\infty}|F(x+iy)|$, поскольку функция $f(z)$ на вертикальных прямых вообще не ограничена. Поэтому рост функции $F(z)$ удобно изучать поведением величины $M(r)=\max\limits_{|z|\leq r}|F(z)|$ при больших $r$. Вводится бесконечный канал $Z_c$, определенный параметром $c$. Показывается, что если, например, $\lambda^{1/p}_{n+1}-\lambda^{1/p}_n\geq h>0$, то рост функции $F(z)$ во всей плоскости (характеризуемый $(A)$-порядком) таков же, как в канале $Z_c$ при $c>\sigma$ ($\sigma$ – некоторая величина, зависящая только от $\{\lambda_n\}$). Если функция $F(z)$ в канале $Z_c$ при $c>\sigma$ не очень быстро растет (если, в частности, она там ограничена), то $F(z)\equiv0$. Заметим, при этом, что канал $Z_c$, начиная с некоторого места, входит в сколь угодно малый угол $|\arg{z}|<\varepsilon$, несмотря на то, что его ширина по мере удаления в $\infty$ увеличивается. Доказывается, что “ширина” канала и вид порождающей функции $f(z)$ по существу. Аппаратом исследования в этой работе служит аппарат линейных уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных в смысле Гельфонда и Леонтьева.