Семейства гомеоморфизмов, относительные метрики и теорема Каратеодори

Доказывается, что существование равностепенной двусторонней оценки искажения расстояний при гомеоморфизмах полных метрических пространств эквивалентно равностепенной непрерывности прямых и обратных отображений (теорема 1). Далее даются ответы на вопросы: 1) когда из равностепенных оценок искажения расстояний следует равностепенные оценки искажения по вторым метрикам (введенных на тех же носителях) “внутри” пространств (т. е. на особым образом определяемых подмножествах пространства) (теоремы 2 и 3); 2) при каких условиях на гомеоморфизмы имеют место аналоги известной в теории аналитических функций теоремы Каратеодори о связи понятий равномерной сходимости последовательностей гомеоморфизмов внутри областей и сходимости последовательностей областей к ядру. Такие аналоги были установлены ранее для некоторых классов отображений (плоских и пространственных квазиконформных и более общих).