Факторизация симметричных матриц с элементами из кольца с инволюцией. I

Упомянутая в названии задача о факторизации возникает как обобщение следующей задачи. Пусть $A(\lambda) =A_0+A_1\lambda+\dots+A_N\lambda^N$ – многочленная матрица (м.м.) размера $n\times n$, эрмитовая на мнимой оси, т. е. такая, что $A(i\omega)^*=A(i\omega)$. Здесь $A_k$ – постоянные комплексные $n\times n$-матрицы, $\lambda$ – комплексная переменная, $\omega$ – вещественная переменная, $*$ – эрмитово сопряжение. Требуется найти условия существования м.м. $X(\lambda)$ и постоянной диагональной матрицы $C^*=C$ (обе имеют размер $n\times n$), таких, что выполнено тождество факторизации $A(i\omega)=X(i\omega)^*CX(i\omega)$. Требуется указать также (по возможности) простой алгорифм нахождения $X(\lambda)$ и $C$.
Эта задача обобщается в статье так.
Рассматривается $n\times n$-матрица $A$ с элементами из коммутативного кольца $\mathfrak M$ с инволюцией $\nabla$. Предполагается, что при любых $a,b\in\mathfrak M$ выполнено: $(a+b)^\nabla=a^\nabla+b^\nabla$, $(ab)^\nabla=a^\nabla b^\nabla$, $(a^\nabla)^\nabla=a$. Матрица $A$ $\nabla$-симметрична, т.е. $a_{kj}^\nabla=a_{jk}$ ($1\leq k,j\leq n$). Требуется найти условия существования $n\times n$-матриц $X$ с элементами из $\mathfrak M$ и $C^\nabla=C$ – диагональной, ненулевые элементы которой суть единицы кольца $\mathfrak M$, таких, что выполнено
$$ A=X^\nabla CX, $$
если операцию $\nabla$ над матрицами понимать как транспонирование и замену элементов на их $\nabla$-образы.
Исходная задача получается, если $\mathfrak M$ – кольцо многочленов от $\lambda$ с комплексными коэффициентами и если для многочленов положить
$$ \biggl(\sum b_k\lambda^k\biggr)^\nabla=\sum b_k^*(-\lambda)^k. $$

При определенных предположениях в статье решается общая задача о факторизации. Из полученных утверждений выводится серия результатов о факторизации в конкретных случаях.
В частности, при определенных условиях устанавливается возможность факторизации м.м. на мнимой оси и факторизации квазимногочленной матрицы $A(\lambda)=A_{-N}\lambda^{-N}+\dots+A_0+\dots+A_n\lambda^N$ на единичной окружности (т. е. при $|\lambda|=1$) .