О полуупорядоченных пространствах с достаточным числом вполне линейных функционалов

Пусть $X$ – $K$-пространство с $\boldsymbol{1}$, $X_0$ – подпространство ограниченных элементов $X$, $p(x)=\inf\{\lambda:x\le\lambda\boldsymbol{1}\}$ – сублинейный функционал на $X_0$.
Множество $Y\subset X_0^+$ называется сферическим, если для любых целых $0\le m\le n$
$$ p\biggl(\frac{y_1+\cdots+y_m+(\boldsymbol{1}-y_{m+1})+\cdots+(\boldsymbol{1}-y_n)}{n}\biggr)\ge1/2 $$
где $y_i$ ($i=1,\dots,n$) – произвольные элементы $Y$ (не обязательно различные).
В терминах сферических множеств формулируются необходимые и достаточные условия существования существенно положительного вполне линейного функционала на $X$.
В качестве следствия предлагается структурная характеризация лебеговых пространств; установлены также необходимые и достаточные условия существования (с.п.) квазимеры (меры) на полной булевой алгебре, инвариантной относительно группы автоморфизмов, без предположения об эргодичности последней.