Векторные расслоения как непрерывные семейства подпространств

Для банахова пространства $X$ вводится метризуемое пространство $\operatorname{Lcs}^0(X)$ замкнутых линейных дополнимых подпространств в $X$. Показывается, что понятия "векторное расслоение над топологическим пространством $T$ с банаховым слоем" и "непрерывное отображение $T\to\operatorname{Lcs}^0(X)$" эквивалентны в теоретико-категорном смысле.