О рядах с лакунами по периодическим мультипликативным системам

Пусть $X=\{\chi_k(x)\}_{k=0}^\infty$, $x\in[0,1]$, – периодическая мультипликативная ортонормированная система функций, определенная с помощью последовательности простых чисел $\{p_n\}$, ограниченных в совокупности; $\{n_k\}$ – последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая условию слабой лакунарности $n_{k+1}\geq(1+\omega(k))n_k$, $k=1,2,\dots$, где $\{\omega(k)\}$ такова, что $\omega(k)\downarrow 0$ и существует $\varepsilon$, $0<\varepsilon<1$, для которого $k^\varepsilon\omega(k)\uparrow\infty$.
Основным результатом работы является
Теорема А. Если последовательность действительных неотрицательных чисел $\{a_k\}$ такова, что
\begin{align} \lim_{n\to\infty}A_n^2&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k^2=\infty,\notag\\ a_k&=O\{A_k\omega(k)\} \quad\text{при}\quad k\to\infty, \qquad\qquad\qquad (*)\notag \end{align}
то ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\chi_{n_k}(x)$ расходится почти всюду и не является рядом Фурье. Кроме того, он не суммируется ни на каком множестве положительной меры никаким положительным регулярным методом суммирования.
Установлена также (теорема Б) окончательность условия $(*)$ во всем классе последовательностей $\{\omega(k)\}$ вида $\omega(k)=ck^{-\alpha}$, где $c>0$, $0<\alpha\leq1/2$.
Библиогр. 14.