Нефинитарные алгебры и их группы автоморфизмов

Пусть $\Gamma$ — линейно упорядоченное множество (цепь) и $K$ — ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Исследуются модуль всех матриц над $K$ с индексами из $\Gamma$ и подмодуль $NT(\Gamma,K)$ всех матриц с нулями на и над главной диагональю. Все финитарные матрицы из $NT(\Gamma,K)$ образуют ниль-кольцо. Автоморфизмы его присоединенной группы (в частности, группы Адо и Маклейна) описаны ранее, когда $K$ – кольцо без делителей нуля. Они зависят от группы $\mathcal{A} (\Gamma)$ всех автоморфизмов и антиавтоморфизмов цепи $\Gamma$.
Доказано, что $NT(\Gamma,K)$ — алгебра с обычным матричным умножением тогда и только тогда, когда либо (a) $\Gamma$ изометрична или антиизометрична цепи натуральных чисел и $\mathcal{A} (\Gamma) = 1$, либо (b) $\Gamma$ изометрична цепи целых чисел и $\mathcal{A} (\Gamma)$ — бесконечная диэдральная группа. Каждая такая алгебра радикальна, но не является ниль-кольцом. Когда $K$ – область целостности, найдены группы автоморфизмов кольца $\mathcal{R}=NT({\Gamma}, K)$, ассоциированного кольца Ли $L(\mathcal{R})$ и присоединенной группы $G(\mathcal{R})$ (теорема 3). Для случая (a) все три группы автоморфизмов совпадают. В основном случае (b) группа $\operatorname{Aut} \mathcal{R}$ имеет более сложное строение, а ее индекс в каждой из групп $\operatorname{Aut} L(\mathcal{R})$ и $\operatorname{Aut} G(\mathcal{R})$ равен двум. Как следствие доказано, что всякий локальный автоморфизм алгебр $\mathcal{R}$ и $L(\mathcal{R})$ действует по модулю $\mathcal{R}^2$ как фиксированный автоморфизм.