О точной теореме Бэра — Сузуки для $\pi$-радикала: спорадические группы

Пусть $\pi$ — собственное подмножество множества всех простых чисел и ${|\pi|\geq 2}$. Обозначим через $r$ наименьшее простое число, не принадлежащее $\pi$, и положим $m=r$, если $r=2,3$, и $m=r-1$, если $r\geq 5$. Изучается гипотеза: класс сопряженности $D$ конечной группы $G$ содержится в $\pi$-радикале $\mathrm{O}_\pi(G)$ группы $G$, если и только если любые $m$ элементов из $D$ порождают $\pi$-подгруппу. В статье данная гипотеза подтверждена для любой группы $G$, всякий неабелев композиционный фактор которой изоморфен спорадической или знакопеременной группе.