Прямые методы в вариационной теории поля

Показано, что классическая теория поля Вейерштрасса — Гильберта может быть усилена. Конкретно, для любого поля экстремалей верно, что если экстремаль — элемент поля, то на ней достигается минимум в классе соболевских функций с теми же граничными данными, что и у экстремали, и с графиками из множества, покрытого полем. Этот результат остается верным, если одна экстремаль сингулярна. Если есть поле, содержащее более чем одну сингулярную экстремаль, то каждая такая экстремаль задает задачу минимизации, в которой нет решения в классе липшицевых функций с графиком из множества, покрытого полем.