Легкие $3$-цепи в $3$-многогранниках без смежных $3$-граней

Пусть $w_k$ — максимум минимальной суммы степеней вершин (веса) в $k$-вершинных цепях ($k$-цепях) $3$-многогранников. Очевидно, что каждый $3$-многогранник содержит вершину степени не больше $5$, так что $w_1\le5$. Еще в $1955$ г. Коциг доказал, что $w_2\le13$ (т. е. найдется ребро веса не больше $13$), причем оценка точна.
В $1993$ г. Андо, Ивасаки и Канеко доказали, что $w_3\le21$, и эта оценка также неулучшаема ввиду конструкции Йендроля, найденной в $1997$ г. В $1997$ г. О. В. Бородин уточнил этот результат, показав, что $w_3\le18$ верно для всех $3$-многогранников с $w_2\ge7$, но для $3$-многогранников с $w_2\ge8$ имеет место более сильная оценка $w_3\le17$, причем неулучшаемость $18$ была подтверждена О. В. Бородиным и др. в $2013$ г, а неулучшаемость $17$ была известна давно.
За последние три десятилетия большое число работ было посвящено задачам раскраски и структурным задачам на плоских графах, разреженных в том или ином смысле.
В данной статье рассматриваются $3$-многогранники без смежных $3$-циклов, т. е. не имеющие хордальных $4$-циклов (иначе говоря, без $K_4-e$). Известно, что для таких $3$-многогранников $w_1\le4$ и, более того, $w_2\le9$, где обе оценки точны (Бородин, $1992$).
Доказано, что всякий $3$-многогранник без хордальных $4$-циклов содержит $3$-цепь веса не более $15$, т. е. $w_3\le15$, и эта оценка неулучшаема.