Обратная задача для полулинейного волнового уравнения с нелинейным интегральным оператором

Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение, главная часть которого совпадает с волновым оператором, а в младших членах присутствуют нелинейное слагаемое $q({\mathbf x})u^m$, $m>1$, и интегральный нелинейный оператор. Этот оператор моделирует память среды и содержит переменный коэффициент $p({\mathbf x})$. Для исходного уравнения изучается структура решения задачи Коши с нулевыми начальными данными и точечным импульсным источником, локализованным в некоторой точке $({\mathbf y},0)$ четырехмерного пространства переменных $({\mathbf x},t)$. Предполагается, что функции $q({\mathbf x})$ и $p({\mathbf x})$ финитны и их носители содержатся в шаре $B_0$ с центром в начале координат и границей $S_0$, а точка ${\mathbf y}$ принадлежит концентрической c $S_0$ сфере $S$ большего радиуса. Точка ${\mathbf y}$ является параметром задачи и может пробегать всю сферу $S$. Изучается обратная задача об определении функций $q({\mathbf x})$ и $p({\mathbf x})$ в $B_0$. При этом используется следующая информация. Для любой точки ${\mathbf y}$, лежащей на сфере $S$, и для точек ${\mathbf x}$, лежащих на определенной части той же сферы, задается решение задачи Коши для исходного интегро-дифференциального уравнения для моментов времени, близких к приходу волны от источника в ${\mathbf y}$ до точек ${\mathbf x}$. Показано, что эта обратная задача редуцируется к двум идентичным задачам интегральной геометрии на семействе прямых с заданной весовой функцией, инвариантной относительно всевозможных вращений вокруг центра шара $B_0$. Установлена теорема единственности и предложен метод решения этих задач.