Гипонормальные измеримые операторы, присоединенные к полуконечной алгебре фон Неймана. IV

Пусть $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана ${\mathcal M}$. Для нормального оператора $A$ из ${\mathcal M}$ найдено условие на $\tau$-интегрируемый оператор $B$, при выполнении которого оператор $A+B$ нормален. Для $\tau$-интегрируемого с квадратом оператора в терминах следовых неравенств установлены эквивалентные условия его нормальности. Для оператора из ${\mathcal M}$ найден критерий гипонормальности в терминах следовых неравенств. Показано, что произвольная натуральная степень произведения $PQ$ проекторов $P$ и $Q$ из ${\mathcal M}$ гипонормальна тогда и только тогда, когда $PQ=QP$. Получены операторные неравенства для степеней гипонормальных сжатий. Показано, что любая натуральная степень гипонормальной частичной изометрии является гипонормальной частичной изометрией с тем же начальным пространством.