Интегральные представления и преобразования $N$-функций. I

Ранее автором был предложен новый подход к экстраполяции операторов со шкалы пространств Лебега в лежащие за пределами этой шкалы пространства Орлича. В работе, состоящей из двух частей, разработан математический аппарат, позволяющий доказывать описанные экстраполяционные теоремы для произвольного поведения оператора в шкале Лебега (т.е. произвольной его нормы как функции от $p$), а также для случая, когда базовой шкалой является отрезок шкалы Лебега с показателями, отделенными от 1 или $+\infty$. При этом возникают некорректные задачи об обращении классических интегральных преобразований типа Меллина и Лапласа на неаналитических функциях в терминах их асимптотики на вещественной оси, а также вопрос о свойствах интегральных преобразований типа свертки на классах $N$-функций. В части I статьи изучаются интегральные представления $N$-функций разложениями по степенным функциям с положительным весом, а также поведение на классах $N$-функций интегральных преобразований типа свертки.