Аддиционная теорема для многообразий с дискретным спектром оператора Лапласа

Вопрос о сохранении дискретности спектра оператора Лапласа, действующего в пространстве дифференциальных форм, при разрезании и склеивании многообразий сводится к аналогичным вопросам о компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования. На этой основе указаны условия на разрез $Y$, разбивающий риманово многообразие $X$ на две части $X_+$ и $X_-$, при выполнении которых спектр оператора Лапласа на $X$ дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов Лапласа на $X_+$ и $X_-$.