О первой смешанной задаче в банаховых пространствах для вырождающихся уравнений с меняющимся направлением времени

Работа посвящена изучению одного из разделов неклассических дифференциальных уравнений, а именно изучению вопросов разрешимости для параболических уравнений с меняющимся направлением времени второго порядка. Хорошо известно, что в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных условий полностью обеспечивает принадлежность решений пространствам Гельдера, но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных условий далеко не обеспечивает принадлежность решений этим пространствам. С. А. Терсеновым для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением времени, а С. Г. Пятковым для более общего уравнения второго порядка были получены необходимые и достаточные условия разрешимости в гельдеровых пространствах соответствующих смешанных задач. При этом начальные и краевые условия всегда предполагались нулевыми. В работе рассматриваются случаи, когда начальные и граничные условия принадлежат банаховым пространствам. Вводятся функциональные пространства, в которых надо искать решения. Получены соответствующие априорные оценки, позволяющие получать условия разрешимости указанных задач. Также изучаются свойства полученных решений. В частности, устанавливается эквивалентность условий Рисса и Литлвуда–Пэли, аналогичных условиям для решений строго эллиптических и строго параболических уравнений второго порядка. Доказывается однозначная разрешимость первой смешанной задачи с граничными и начальными функциями из банахова пространства.