Регулярность и аппроксимация решения односторонней задачи для псевдопараболического оператора Баренблатта - Желтова - Кочиной

Рассматривается односторонняя задача для псевдопараболического оператора Баренблатта - Желтова - Кочиной в одномерном случае, снабженная гладкими начальными данными и однородными граничными условиями. Эта задача формулируется в виде вариационного неравенства и с физической точки зрения моделирует нестационарный процесс фильтрации вязкой жидкости в трещиновато-пористой галерее с ограничением на модуль скорости фильтрации по трещинам. Теорема существования слабого обобщенного решения этой задачи известна в литературе как в одномерном, так и многомерном случаях, и следует из результатов, полученных М. Пташник (Nonlinear Analysis, 2007, vol. 66, P. 2653-2675) с применением метода штрафа. При этом оператор штрафа выбирался в стандартном виде, следуя изложению в монографии Ж.-Л. Лионса «Некоторые методы решения нелинейных краевых задачк, М.: Мир, 1972 (теорема 5.1 в гл. 3). В настоящей статье рассматривается приближенная начально-краевая задача с оператором штрафа А. А. Каплана и изучается семейство ее решений. Благодаря специфической структуре оператора А. А. Каплана, удается получить повышенную регулярность слабого обобщенного решения исходной задачи по отношению к ранее известным свойствам регулярности, а также найти усиленное свойство аппроксимации этого решения последовательностью решений приближенной задачи с оператором А. А. Каплана. Кроме этого установлено, что наложенное в исходной задаче одностороннее условие с уменьшением малого параметра аппроксимации выполняется для приближенного решения на все более широком множестве пространственной переменной, причем рост множества происходит монотонно по включению.