К проективно-дифференциальной геометрии пятимерных комплексов двумерных плоскостей проективного пространства $P^5$

Предметом исследования настоящей статьи является дифференциальная геометрия пятимерных комплексов $C^5$ двумерных плоскостей в проективном пространстве $P^5$, содержащих конечное число торсов. Настоящая работа относится к исследованиям в области проективной дифференциальной геометрии на основе метода подвижного репера Э. Картана и метода внешних дифференциальных форм. Эти методы позволяют с единой точки зрения изучать дифференциальную геометрию подмногообразий различных размерностей грассманова многообразия, а также обобщить полученные результаты на более широкие классы многообразий многомерных плоскостей. Для изучения таких подмногообразий применяется грассманово отображение многообразия $G(2, 5)$ на девятимерное алгебраическое многообразие $ \Omega (2, 5)$ пространства $P^{19}$. Основной задачей дифференциальной геометрии подмногообразий грассмановых многообразий является единая классификация различных классов таких подмногообразий, выяснение их строения и решение связанной с этим проблемы определения произвола их существования, а также изучение свойств подмногообразий различных классов. Пересечение алгебраического многообразия $ \Omega (2, 5)$ с его касательным пространством $T_l \Omega (2, 5)$ представляет собой конус Сегре $C_l(3, 3)$. Этот пятимерный конус несет два семейства плоских трехмерных образующих, пересекающихся по прямым. Проективизация $P B_l (2)$ этого конуса есть многообразие Сегре $S_l(2, 2)$. Многообразие Сегре $S_l(2, 2)$ инвариантно при проективных преобразованиях пространства $P^8 = P T_l \Omega (2, 5)$, являющегося проективизацией с центром в точке $l$ касательного пространства $T_l \Omega (2, 5)$ к алгебраическому многообразию $ \Omega (2, 5)$. Многообразие Сегре $S_l(2, 2)$ используется для классификации рассматриваемых подмногообразий грассманова многообразия $G(2, 5)$, а также для интерпретации их свойств в терминах проективных алгебраических многообразий. Классификация подмногообразий грассманова многообразия $G(2, 5)$ основана на различных конфигурациях плоскости $P T_l \Omega (2, 5)$ и многообразия Сегре $S_l(2, 2)$. Целью настоящей статьи является геометрическое доказательство теоремы об определении порядка инвариантного многообразия Сегре $S_l(2, 2)$.