Математика
К проективно-дифференциальной геометрии комплексов $m$ -мерных плоскостей проективного пространства $P^n$, содержащих конечное число торсов
И. В. Бубякин Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, г. Якутск
Аннотация:
Предметом исследования настоящей статьи является дифференциальная геометрия
$p$ -мерных комплексов
$С^p$ $m$ -мерных плоскостей в проективном пространстве
$Р^n$, содержащих конечное число торсов. Настоящая работа относится к исследованиям в области проективной дифференциальной геометрии на основе метода подвижного репера Э. Картана и метода внешних дифференциальных форм. Эти методы позволяют с единой точки зрения изучать дифференциальную геометрию подмногообразий различных размерностей грассманова многообразия,а также обобщить полученные результаты на более широкие классы многообразий многомерных плоскостей. Для изучения таких подмногообразий применяется грассманово отображение многообразия
$G(m, n)$ на
$(m+ 1)(n-m)$ -мерное алгебраическое многообразие
$\Omega (m, n)$ пространства
$Р^N$, где
$N=\frac{n+1}{m+1}-1$. Основная задача дифференциальной геометрии подмногообразий грассмановых многообразий заключается в проведении единой классификации различных классов таких подмногообразий, выяснения их строения и связанная с этим задача определения произвола их существования, а также изучение свойств подмногообразий различных классов. Пересечение алгебраического многообразия
$\Omega (m, n)$ с его касательным пространством
$T_l \Omega (m, n)$ представляет собой конус Сегре
$C_l (m+1, n-m)$. Этот конус имеет размерность
$n$ и несет плоские образующие размерностей
$m+1$ и
$n-m$, пересекающиеся по прямым. Проективизация
$PB_l$(2) этого конуса есть многообразие Сегре
$S_l (m, n -m-1)$. Многообразие Сегре
$S_l (m, n-m-1)$ инвариантно при проективных преобразованиях пространства
$P^{(m+1)(n-m)-1}=PT_l \Omega (m, n)$, являющегося проективизацией с центром в точке
$l$ касательного пространства
$T_l \Omega (m, n)$ к алгебраическому многообразию
$\Omega (m, n)$. Многообразие Сегре
$S_l(m, n-m-1)$ используется для классификации рассматриваемых подмногообразий грассманова многообразия
$G(m, n)$, а также для интерпретации их свойств в терминах проективных алгебраических многообразий. Классификация подмногообразий грассманова многообразия
$G(m, n)$ основана на различных конфигурациях плоскости
$PT_l \Omega (m, n)$ и многообразия Сегре
$S_l(m, n-m-1)$. Целью настоящей статьи является геометрическое доказательство теоремы об определении порядка многообразия Сегре
$S_l(m, n-m-1)$.
Ключевые слова:
грассманово многообразие, комплексы многомерных плоскостей, многообразие Сегре.
УДК:
514.755.5 Поступила в редакцию: 02.02.2023
Принята в печать: 28.02.2023
DOI:
10.25587/SVFU.2023.10.59.001