Сравнение градиентного и симплекс методов численного решения обратной задачи для простейшей модели инфекционного заболевания

При заражении организм человека выделяет антитела, которые позволяют справляться с болезнями. Индивидуальные особенности иммунитета и заболевания, отвечающие за рост числа антигенов (например, вирусов или бактерий) и антител, сопротивляемость организма и т. д. различны, а следовательно, реакция каждого отдельного организма будет различной при одном и том же заболевании. Несмотря на это врачи, как правило, составляют пациентам стандартный план лечения, что не всегда оптимально. Поэтому важно уметь определять индивидуальные особенности иммунитета (скорость иммунного ответа, скорость выработки специфичных антител) и заболевания (скорость распространения вирусов, бактерий и др.) для каждого пациента в отдельности по анализам крови, урины и т. п. В работе численно исследована задача определения параметров инфекционного заболевания для простейшей математической модели «антиген-антитело» по измерениям концентраций антигенов и антител в фиксированные моменты времени. Исследован целевой функционал, описывающий отклонение экспериментальных данных от модельных. Получено явное выражение градиента целевого функционала, в котором используется решение соответствующей сопряженной задачи. Проведен сравнительный анализ численного решения обратной задачи, полученного градиентным методом (итерации Ландвебера) и симплекс-методом (методом Нелдера-Мида). Показано, что метод Нелдера-Мида в исследуемой математической модели определяет множество локальных приближенных значений скоростей распространения антигена, иммунного ответа и выработки специфичных антител с заданной точностью. Метод итерации Ландвебера находит ближайший к начальному приближению аргумент минимума целевого функционала за достаточное большое число итераций.