О псевдообъеме гиперболического тетраэдра

Изучаются свойства гиперболического тетраэдра в трехмерном пространстве Лобачевского. Проводится сравнительный анализ двух понятий, характеризующих тетраэдр - это его объем и псевдообъем, определяемый как квадратный корень из модуля определителя матрицы Грама, образованной длинами ребер. В 1877 г. итальянский математик Эрнико д'Овидио предположил, что для гиперболических тетраэдров эти два понятия, с точностью до естественной константы нормирования, совпадают. Позже выяснилось, что это неверно, но, тем не менее, асимптотическое равенство сохраняется для бесконечно малых тетраэдров. Классическая теорема Сервуа утверждает, что объем евклидова тетраэдра равен одной шестой произведения длин скрещивающихся ребер на расстояние и синус угла между ними. Мы покажем, что эта теорема остается справедливой для псевдообъема гиперболического тетраэдра, но перестает быть верной для его неевклидова объема. В качестве следствия будет установлено, что аналогичная ситуация имеет место и для теоремы Штейнера о сохранении евклидова объема тетраэдра при параллельном перемещении его ребер.