Восстановление полиномиального потенциала в задаче Штурма–Лиувилля

Рассмотрена задача идентификации полиномиального коэффициента упругости среды по собственным частотам колеблющейся в этой среде струны. Приведен метод решения задачи, основанный на представлении линейно независимых решений дифференциального уравнения в виде рядов Тейлора по переменным $x$ и $\lambda$. Разработан также метод, который позволяет доказывать не одного или многих восстановленного полиномиальных коэффициентов упругости среды по конечному числу собственных частот колебаний струны. Данный метод основан на методе вариации произвольной постоянной. Приведены примеры решения задачи и оценка погрешности результата. В работе показано, что для однозначной идентификации $n+1$ коэффициентов полинома степени $n$, являющимся потенциалом в задаче Штурма-Лиувилля, достаточно использовать $n+1$ собственное значение. При этом собственные значения берутся из двух разных краевых задач, отличающихся одним из краевых условий. Количество собственных значений в каждой задаче берется по половине. Если это число является нечетным, то количество собственных значений из спектра одной из задач будет на единицу большим. Приведен контрпример, из которого следует, что использование собственных частот только из одного спектра не позволяет найти единственное решение. По сути, приведенные результаты уточняют известную теорему Борга на случай, когда потенциал является полиномом. Кроме этого, метод, позволяющий выявить класс изоспектральных задач, для которых спектр собственных частот совпадает.