Достаточные условия полиустойчивости по части переменных нулевого решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

В статье получены достаточные условия полиустойчивости по части переменных для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с достаточно гладкой правой частью. Доказательство полученных теорем основано на установлении локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности по Брауеру. Для этого в банаховом пространстве строится оператор, связывающий решения нелинейной системы и ее линейного приближения. Данный оператор удовлетворяет условиям принципа Шаудера, следовательно, он имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Далее с использованием оценок ненулевых элементов фундаментальной матрицы получены условия, обеспечивающие переход свойств полиустойчивости тривиального решения системы линейного приближения на решения нелинейной системы, локально покомпонентно асимптотически эквивалентной своему линейному приближению. Приведены примеры, иллюстрирующие применение доказанных достаточных условий к исследованию полиустойчивости нулевого решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе в критическом случае, а также при наличии положительных собственных значений.