О топологической классификации многомерных полярных потоков

Работа посвящена решению задачи о топологической классификации структурно-устойчивых потоков, восходящей к классическим работам Андронова, Понтрягина, Леонтович и Майера. К настоящему времени имеются исчерпывающие классификационные результаты для потоков Морса-Смейла (структурно-устойчивых потоков, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа неподвижных точек и периодических траекторий), заданных на многообразиях, размерность которые не превышает трех, и совсем небольшое число результатов для высших размерностях. Это объясняется возрастающей сложностью топологических задач, которые возникают при описании структуры разбиения многомерного фазового пространства на траектории. В настоящей работе рассматривается класс $G(M^n)$ потоков Морса-Смейла на замкнутом связном ориентируемом многообразии $M^n$, неблуждающее множество которых состоит в точности из четырех точек: источника, стока и двух седел. Для случая, когда размерность $n$ несущего многообразия равна $4$ и выше, дополнительно предполагается, что одно из инвариантных многообразий каждого седлового состояния равновесия одномерно. Для потоков из этого класса описана топология несущего многообразия, получена оценка минимального числа гетероклинических кривых, необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности, а также описан алгоритм реализации стандартного представителя каждого класса топологической эквивалентности. Один из удивительных результатов работы состоит в том, что если при $n=3$ имеется счетное множество многообразий, допускающих потоки из рассматриваемого класса, то в размерности $n>3$ несущее многообразие всего одно (с точностью до гомеоморфизма).