О периодических решениях линейных неоднородных дифференциальных уравнений c малым возмущением при производной

В банаховом пространстве методами теории ветвления построено периодическое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения c малым возмущением при производной (возмущенное уравнение). При условии наличия полного обобщенного жорданова набора доказана единственность этого периодического решения. Показано, что при равенстве нулю малого параметра и при выполнении некоторых условий периодическое решение возмущенного уравнения переходит в семейство периодических решений невозмущенного уравнения. Результат получен с помощью представления возмущенного уравнения в виде операторного уравнения в банаховом пространстве и применения теории обобщенных жордановых наборов и модифицированного метода Ляпунова-Шмидта, сводящий исходную задачу к исследованию разрешающей системы Ляпунова-Шмидта в корневом подпространстве. При этом разрешающая система распадается на две неоднородные системы линейных алгебраических уравнений, которые при $\varepsilon \neq 0$ имеют единственные решения, а при $\varepsilon=0$ – $2n$-параметрические семейства вещественных решений, соответственно.