Обобщенное неравенство Пуанкаре–Соболева на метрических пространствах

В работе доказываются неравенства вида
$$ |f(x_0)-f_{B(x_0,r)}|\le c\eta(r)(\mathcal{S}_\eta f(x_0))^{1-\alpha p/\gamma}\biggl(\,{\int\limits_{B(x_0,r)}\mspace{-31.5mu}{-}\mspace{11.5mu}}(\mathcal{S}_\eta f)^p\,d\mu\biggr)^{\alpha/\gamma} $$

в точках Лебега функции $f\in L_{\mathrm{loc}}^1 (X)$. Здесь $0<\alpha<\gamma/p$, $\eta(t)t^{-\alpha}\uparrow$, $\eta(t)t^{-\gamma/p}\downarrow$
$$ \mathcal{S}_\eta f(x)=\sup_{B\ni x}\frac{1}{\eta(r)}{\int\limits_B\mspace{-19mu}{-}\mspace{7mu}}|f-f_B|\,d\mu, $$

$B=B(x,r)$ — шары в метрическом пространстве (или в пространстве однородного типа) $X$ с регулярной борелевской мерой $\mu$, удовлетворяющей условию удвоения порядка $\gamma>0$.
Мы даем также другие формы таких неравенств, подобные классическому неравенству Пуанкаре, и указываем их приложения к теоремам вложения соболевского типа и к свойству “самоулучшения” обобщенного неравенства Пуанкаре.
Библиогр. 16 назв.