Строение множеств неравномерности слабо экспоненциально дихотомических линейных дифференциальных систем

Линейная $n$-мерная дифференциальная система с кусочно непрерывными и ограниченными на временной полуоси коэффициентами называется слабо экспоненциально дихотомической, если существуют такие положительные постоянные $\nu_1$ и $\nu_2$ и разложение $\mathbb{R}^n=L_-\oplus L_+,$ что для ее решений $x(\cdot)$ при всех $t\ge s\ge0$ выполнены неравенства: а) если $x(0)\in L_-,$ то $\|x(t)\|\le c_1(x)e^{-\nu_1(t-s)}\|x(s)\|;$ б) если $x(0)\in L_+,$ то $\|x(t)\|\ge c_2(x)e^{\nu_2(t-s)}\|x(s)\|,$ где $c_1(x)$ и $c_2(x)$ — положительные постоянные, вообще говоря, свои для каждого решения ($c_1(x)\ge1$ и $c_2(x)\le1$). Для $\varepsilon\in(0,1]$ множество тех $x(0)\in L_-$, для которых в оценке а) нельзя взять $c_1(x)=\varepsilon^{-1},$ называется первым множеством $\varepsilon$-неравномерности, а множество тех $x(0)\in L_+,$ для которых в оценке б) нельзя взять $c_2(x)=\varepsilon$ называется вторым множеством $\varepsilon$-неравномерности слабо экспоненциально дихотомической системы. Получено необходимое и достаточное условие, чтобы однопараметрическое семейство множеств, зависящее от параметра $\varepsilon\in(0,1],$ являлось семейством первых (вторых) множеств $\varepsilon$-неравномерности некоторой слабо экспоненциально дихотомической системы.