Lattice characterizations of soluble and supersoluble finite groups

Пусть $G$ – конечная группа, ${\mathscr L}_{sn}(G)$ – решетка всех субнормальных подгрупп $G$. Пусть $A$ и $N$ – подгруппы группы $G$ и $1, G\in {\mathscr L}$ – подрешетка ${\mathscr L}_{sn}(G)$, т. е. $A\cap B, \langle A, B \rangle \in {\mathscr L}$ для всех $A, B \in {\mathscr L} \subseteq {\mathscr L}_{sn}(G)$. Тогда через $A^{{\mathscr L}}$ обозначим $\mathscr L$-замыканием подгруппы $A$ в $G$, т. е. пересечение всех подгрупп из $ {\mathscr L}$, содержащих $A$, и через $A_{{\mathscr L}}$ – $\mathscr L$-ядро подгруппы $A$ в $G$, т. е. подгруппу $A$, порожденную всеми подгруппами из $A$, принадлежащими $\mathscr L$. Мы говорим, что $A$ является $N$-${\mathscr L}$-подгруппой группы $G$, если либо $A\in {\mathscr L}$, либо $A_{{\mathscr L}} < A < A^{\mathscr L}$ и $N$ изолирует любой композиционный фактор $H/K$ группы $G$ между $A_{{\mathscr L}}$ и $ A^{\mathscr L}$, т. е. $N\cap H=N\cap K$. Используя эти понятия, мы даем новые характеризации разрешимых и сверхразрешимых конечных групп. Обобщены некоторые известные результаты.