Оптимизация хаусдорфова расстояния между множествами в евклидовом пространстве

Задачи аппроксимации множеств играют важную роль во многих областях математики и механики. Например, в теории дифференциальных игр и теории оптимального управления активно изучаются задачи аппроксимации множеств разрешимости и множеств достижимости управляемых систем. Так, в исследованиях Н. Н. Красовского и А. И. Субботина, посвященных позиционным дифференциальным играм, одной из центральных является задача выделения множеств разрешимости – максимальных стабильных мостов. Эта задача может быть решена точно лишь в относительно редких случаях. Возникает вопрос о приближенном построении этих множеств. В работах А. Б. Куржанского, Ф. Л. Черноусько и их сотрудников множества достижимости аппроксимируются эллипсоидами и параллелепипедами.
В данной статье рассматривается вариант постановки задачи, когда заданное множество требуется аппроксимировать произвольными многогранниками. В евклидовом пространстве заданы два множества – многогранники $A$ и $B$. Требуется найти такое положение многогранников, при котором хаусдорфово расстояние между ними было бы минимальным. Несмотря на геометрический характер постановки задачи, для ее исследования используется аппарат выпуклого и негладкого анализа.
В теории управления одним из вариантов работы со множествами со сложной геометрией является аппроксимация их на плоскости наборами кругов равного радиуса. Основным компонентом их построения являются наилучшие $n$-сети и их обобщения, описанные в частности А. Л. Гаркави. Авторами разработан алгоритм построения наилучших сетей на основе разбиения заданного множества на подмножества и отыскания их чебышевского центра. В общем случае качественные оценки отклонения множеств от их наилучших $n$-сетей при росте $n$ даны А. Н. Колмогоровым. В статье выведена количественная оценка хаусдорфова отклонения одного класса. Приведены примеры построения наилучших $n$-сетей.