Критерий отсутствия локальной сбалансированности некоторых простых групп лиева типа

Конечная простая неабелева группа $K$ называется локально сбалансированной (локально 1-сбалансированной) относительно простого числа $p$, если $O_{p'}(C_G(x))=1$ для любого элемента $x$ порядка $p$ из $G\simeq \rm Aut\,(K)$. Описанию не локально сбалансированных конечных простых неабелевых групп посвящена известная теорема 7.7.1 из “Классификации конечных простых групп” трех авторов Д.Горенстейна, Р.Лайонса, Р.Соломона. Однако в формулировке п.$(d)$ этой теоремы имеется пробел, который присутствует и в доказательстве этого пункта. В данной статье доказана следующая Теорема. Пусть $G$- конечная почти простая группа, $K=\rm Soc\,(G)$- группа лиева типа над полем характеристики r и $x$- элемент простого порядка $p\ne r$ из $G$, индуцирующий на $K$ не внутренне-диагональный автоморфизм. Тогда следующие условия эквивалентны: $(1)$ $O_{p'}(C_G(x))\ne 1;$ $(2)$ $x$ индуцирует на $K$ полевой автоморфизм и $(|C_K(x)|,p)=1$. Теорема дает критерий не локально $1$-сбалансированности групп лиева типа из п. $(d)$ теоремы 7.7.1 с не внутренне-диагональным автоморфизмом, на основе которого для любой конечной простой неабелевой группы лиева типа строится счетная серия контрпримеров к п.$(d)$ теоремы 7.7.1.