Произведения и объединения локально нормальных классов Фиттинга

Пусть $\pi$ - непустое множество простых чисел. Неединичный класс Фиттинга $\mathfrak{F}$ называют нормальным в классе $\mathfrak{S}_\pi$ всех конечных разрешимых $\pi$-групп или просто $\pi$-нормальным (обозначают $\mathfrak{F\trianglelefteq S}_\pi$), если $\mathfrak{F\subseteq S}_\pi$ и для любой $\pi$-группы $G$ ее $\mathfrak{F}$-радикал является $\mathfrak{F}$-максимальной подгруппой. Если $\pi$ - множество всех простых чисел, то $\mathfrak{F}$ называют нормальным. Произведение классов Фиттинга $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ назовем $\pi$-нормальным, если $\mathfrak{FH}$ - $\pi$-нормальный класс Фиттинга. В работе доказано существование $\pi$-нормальных произведений классов Фиттинга, факторизуемых не $\pi$-нормальными сомножителями. Пусть $\mathbb{P}$ - множество всех простых чисел, $\varnothing\neq\pi\subseteq\mathbb{P}$, $\mathfrak{F}$ - некоторый класс Фиттинга $\pi$-групп и $\omega=\sigma(\mathfrak{F})$ - множество всех простых делителей всех групп из $\mathfrak{F}$. Установлено, что если $\mathfrak{F^2=F}$ и $\mathfrak{H}$ - класс всех $\pi$-групп, $\omega$-цоколь которых централен, то произведение $\mathfrak{FH}$ является $\pi$-нормальным, а каждый из сомножителей $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ не $\pi$-нормален. Решеточным объединением $\mathfrak{F\vee H}$ классов Фиттинга $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ называют класс Фиттинга, порожденный $\mathfrak{F\cup H}$. Если $\mathfrak{F\vee H}$ является $\pi$-нормальным классом Фиттинга, то $\mathfrak{F\vee H}$ назовем $\pi$-нормальным. Пусть $\mathfrak{F}$ и $\mathfrak{H}$ - классы Фиттинга $\pi$-групп. Доказано, что решеточное объединение $\mathfrak{F\vee H}$ является $\pi$-нормальным тогда и только тогда, когда хотя бы один из классов $\mathfrak{F}$ или $\mathfrak{H}$ - $\pi$-нормальный класс Фиттинга.